List of Footnotes

1 Vizgin’s book is the only one that covers the gamut of approaches during the period considered. Fortunately, he has made accessible contributions in the Russian language by scientists in the Soviet Union. Vizgin also presents and discusses attempts at unification prior to 1914.
2 The inclusion of the quantum corresponds to Vizgin’s maximal unification problem [385Jump To The Next Citation Point], p. 169.
3 See Section 1 of Vizgin’s book [385Jump To The Next Citation Point] for a treatment of the history of pre-relativistic unified field theories and an exposition of Mie’s, Ishiwara’s, and Nordström’s approaches.
4 In present-day interpretation, the first two fields are fields mediating the interactions while the third, the electron field, really is a matter field.
5 This definition corresponds, in a geometrical framework, to Vizgin’s minimal unification problem ([385Jump To The Next Citation Point], p. 187).
6 Original Quote in German “Eine Hoffnung ist aber nicht in Erfüllung gegangen. Ich dachte, wenn es gelingt, dieses Gesetz aufzustellen, dass es eine brauchbare Theorie der Quanten und Materie bilden würde. Aber das ist nicht der Fall. Die Konstruktion scheint am Problem der Materie und der Quanten zu scheitern.”
7 Original Quote in German “[...] Anhäufungen von positiver und negativer Elektrizität, die wir in den positiven Wasserstoffkernen und in den negativen Elektronen antreffen. Die ältere Maxwellsche Theorie erklärt diese Anhäufungen nicht, aber auch den neueren Bestrebungen ist es bisher nicht gelungen, diese Anhäufungen als selbstverständliche Folgen der zugrundeliegenden Differentialgleichungen zu erkennen. Sollte aber eine solche Erklärung gefunden werden, so darf man vielleicht auch hoffen, dass die [...] mysteriösen Quantenbahnen in ein neues Licht gerückt werden.”
8 It is true that Dirac, in his first paper, in contrast to what his “hole”-theory implied, had identified the positively charged particle corresponding to the electron also with the proton [55Jump To The Next Citation Point]. However, after Weyl had pointed out that Dirac’s hole theory led to equal masses [409], he changed his mind and gave the new particle the same mass as the electron [56].
9 Original Quote in German “Ich glaube darum, dass zwischen dem hier vertretenen ‘reactionären Standpunkt’, der eine vollständige feldtheoretische Beschreibung auf Grund der normalen Raum-Zeit-Struktur erstrebt, und dem wahrscheinlichkeitstheoretischen (statistischen) Standpunkt ein Kompromiss [...] nicht mehr möglich ist.”
10 Original Quote in German “Sollten sich die hier vorausgeahnten Möglichkeiten als wirklich lebensfähig erweisen, so würde die Quantenmechanik aufhören, eine selbständige Disziplin zu sein. Sie würde verschmelzen mit einer vertieften ‘Theorie der Materie’, die auf reguläre Lösungen von nicht-linearen Differentialgleichungen aufzubauen hätte, – in letztem Zusammenhang also aufgehen in den ‘Weltgleichungen’ des Universums. Der Dualismus ‘Materie-Feld’ würde dann ebenso überwunden sein, wie der Dualismus ‘Korpuskel-Welle’.”
11 Thus, in a paper of 1934 really belonging to the 2nd part of this review, Schouten and Haantjes exchanged the previously assigned “induced geodesic lines” for “auto-geodesical lines” [311].
12 For the following, it is assumed that readers have some prior knowledge of the mathematics underlying General Relativity.
13 For the precise definition of “geometrical object”, cf. Yano’s book [425Jump To The Next Citation Point].
14 The second fundamental form comes into play when local isometric embedding is considered, i.e., when MD is taken as a submanifold of a larger space such that the metrical relationships are conserved. In the following, all geometrical objects are supposed to be differentiable as often as is needed.
15 Here, the Kronecker-symbol δik with value +1 for i = k, and value 0 for i ⁄= k is used. δik keeps its components unchanged under arbitrary coordinate transformations.
16 Latin indices i,j,k,... run from 1 to D, or from 0 to D − 1 to point to the single timelike direction. We have used the symmetrisation bracket defined by A (ij) := 1∕2 (Aij + Aji).
17 In physical applications, special conditions for γ and ϕ might be needed in order to guarantee that g is a Lorentz metric.
18 Reichenbächer’s results agree with Schrödinger’s, but, as they are in a different form than that given by Tonnelat [356Jump To The Next Citation Point], I have not checked whether they agree with Equations (6View Equation, 7View Equation). Neither Schrödinger nor Tonnelat give credit to Reichenbächer.
19 We have (LXY )k := ([X,Y ])k = Xi∂iYk − Y i∂iXk.
20 Eisenhart called his object “ennuple” instead of n-bein [119Jump To The Next Citation Point]. In French, the expressions “n-pode”, “n-èdre”, and “polyaxe à n dimensions” were also used.
21 In an arbitrary basis for the differential forms (cotangent space), the connection may be represented by a 1-form.
22 In the literature, different notations and conventions are used. Tonnelat [356Jump To The Next Citation Point] writes l Ak+;j := Ak,j − Lkj Al, and Ak ;j := Ak,j − LjklAl −.
23 Many authors replace “autoparallel” by “geodesic”. We will reserve the name geodesic for curves of extreme length; cf. Riemannian geometry.
24 In the following we will note a symmetrical connection by Γ ijk = L (ij)k.
25 Schouten denotes the curvature tensor by Kjkli.
26 Again, we have two kinds of homothetic curvatures deriving from K+ and K−. In the following, we will mostly use the + X-quantities and drop the + sign.
27 For a three-index-tensor the symmetrisation bracket is defined by
1 A(ikl) := -(Aikl + Alik + Akli + Akil + Alki + Ailk). 3!
28 This scalar density was used by Einstein [77Jump To The Next Citation Point] (cf. Section 6.4.4).
29 This definition differs from Schouten’s by an overall minus sign.
30 See [157]; his sign conventions are different, though.
31 In the case of an asymmetric metric, this relation must be satisfied separately by the symmetric and antisymmetric parts of g:
∇khij = 0, ∇k ϕij = 0.
32 The index 0 does not refer to a time-coordinate.
33 Note that α X and α λX correspond to the same point of MD; Veblen uses 0 λ = exp(N x ) (see [379Jump To The Next Citation Point], Section II).
34 For an asymmetric connection, this corresponds to the + derivative.
35 The external derivative d of linear forms ω,μ satisfies the following rules:
  1. d(aω+ bμ) = adω + bdμ,
  2. d(ω∧ μ) = dω ∧ μ− ω ∧ dμ,
  3. ddω = 0.
36 A representation of a group is defined as a map to the vectors of a linear space that is homomorphic in the group operation.
37 The full Lorentz group contains as further elements the temporal and spatial reflections.
38 X+AB = XBA; A,B = 1,2.
39 2-component spinors are also called Weyl-spinors.
40 For a contemporary exposition of the use of spinors in space-time, see the book of Penrose and Rindler [256].
41 In the early papers on general relativity, Equation (96View Equation) was called a “conservation law” because, in Minkowski space, it implies the conservation laws for energy and linear momentum. For an arbitrary Riemannian manifold this no longer holds true.
42 Förster published under a nom de plume “R. Bach” because his employer Krupp did not like his employees using their free time on something as academical as research in gravitation and unified field theory. Bach wrote also about Weyl’s theory (Bach 1921) [4Jump To The Next Citation Point].
43 Original Quote in German “Vielleicht findet sich ein kovarianter Sechservektor der das Auftreten der Elektrizität erklärt und ungezwungen aus den gμν herauskommt, nicht als fremdes Element herangetragen wird.”
44 Original Quote in German “Das Ziel, Gravitation und Elektromagnetismus einheitlich zu behandeln, indem man beide Phänomengruppen auf die gμν zurückführt, hat mir schon viele erfolglose Bemühungen gekostet. Vielleicht sind Sie glücklicher im Suchen. Ich bin fest überzeugt, dass letzten Endes alle Feldgrössen sich als wesensgleich herausstellen werden. Aber leichter ist ahnen als finden.”
45 Original Quote in German “Das Ausgehen von einem nichtsymmetrischen gμν hat mich auch schon lange beschäftigt; ich habe aber die Hoffnung aufgegeben, auf diese Weise hinter das Geheimnis der Einheit (Gravitation–Elektromagnetismus) zu kommen. Verschiedene Gründe flössen da schwere Bedenken ein: [...] Ihre übrigen Bemerkungen sind ebenfalls an sich interessant und mir neu.”
46 In his textbook, M. von Laue presented and discussed Mie’s theory [387Jump To The Next Citation Point].
47 Original Quote in German “In Folge eines allgem. math. Satzes erscheinen die elektrody. Gl. (verallgemeinerte Maxwellsche) als math. Folge der Gravitationsgl., so dass Gravitation und Elektrodynamik eigentlich garnicht verschiedenes sind.”
48 See also the Diploma thesis by König [191]. In it it is shown that from the divergence relation Tμν;ν = 0 and the most general Lagrangian L(u,v) with u = FμνF μνandv = ∗FμνF μν, the field equations follow only for the generic case of full rank of the electromagnetic field tensor Fμν.
49 Original Quote in German “Ihre Untersuchung interessiert mich gewaltig, zumal ich mir oft schon das Gehirn zermartert habe, um eine Brücke zwischen Gravitation und Elektromagnetik zu schlagen. Die Andeutungen, welche Sie auf Ihren Karten geben, lassen das Grösste erwarten.”
50 Reichenbächer’s solution is a special case of a huge number of spherically symmetric solutions of R = 0 given in Goenner and Havas 1980 [144]. Reichenbächer published 29 papers between 1917 and 1930.
51 Original Quote in German “Die Störung, die durch die Elektronen erzeugt wird und uns also zur Annahme eines von dem gewöhnlichen abweichenden Weltkoordinatensystem zwingt, wird nun bekanntlich als der elektromagnetische Sechservektor aufgefasst.”
52 Original Quote in German “Nun sind diese Gebilde ungeheure Anhäufungen von Energie auf kleinsten Räumen; daher werden sie gewaltige Raumkrümmungen, oder mit anderen Worten, Gravitationsfelder, in sich bergen. Der Gedanke liegt nahe, dass diese es sind, die die auseinanderstrebenden elektrischen Ladungen zusammenhalten.”
53 Original Quote in German “Keiner der bisherigen Theorien des Elektrons, auch nicht der Einsteinschen (Einstein 1919 [70Jump To The Next Citation Point]) ist es bisher gelungen, das Problem der elektrischen Elementarquante befriedigend zu lösen, und es liegt nahe, nach einem tieferen Grund für diesen Mißerfolg zu suchen. Ich möchte nun diesen Grund darin suchen, daß es überhaupt unstatthaft ist, das elektrische Feld im Innern des Elektrons als stetige Raumfunktion zu beschreiben. Die elektrische Feldstärke ist definiert als die Kraft auf einen geladenen Probekörper und, wenn es keine kleineren Probekörper gibt als das Elektron (bzw den N-Kern), scheint der Begriff der elektrischen Feldstärke in einem bestimmten Punkt im Innern des Elektrons, mit welchem alle Kontinuumstheorien operieren, eine leere, inhaltslose Fiktion zu sein, da es keine beliebig kleinen Maßstäbe gibt. Ich möchte deshalb Herrn Einstein fragen, ob er der Auffassung zustimmt, daß man die Lösung des Problems der Materie nur von einer Modifikation unserer Vorstellungen vom Raum (vielleicht auch von der Zeit) und vom elektrischen Felde im Sinne des Atomismus erwarten darf, oder ob er die angeführten Bedenken nicht für stichhaltig hält und die Ansicht vertritt, daß man an den Grundlagen der Kontinuumstheorie festhalten muß.”
54 For the evolution of Einstein’s position vis-a-vis continuum theory and short-comings of it, cf. J. Stachel [329].
55 Original Quote in German “Mit fortschreitender Verfeinerung des wissenschaftlichen Begriffssystems wird die Art und Weise der Zuordnung der Begriffe von den Erlebnissen immer komplizierter. Hat man in einem gewissen Studium der Wissenschaft gesehen, daß einem Begriff ein bestimmtes Erlebnis nicht mehr zugeordnet werden kann, so hat man die Wahl, ob man den Begriff fallen lassen oder ihn beibehalten will; in letzterem Fall ist man aber gezwungen, das System der Zuordnung der Begriffe zu den Erlebnissen durch ein komplizierteres zu ersetzen. Vor dieser Alternative sind wir auch hinsichtlich der Begriffe der zeitlichen und räumlichen Entfernung gestellt. Die Antwort kann nach meiner Ansicht nur nach Zweckmäßigkeitsgründen gegeben werden; wie sie ausfallen wird, erscheint mir zweifelhaft.”
56 Original Quote in German “[...] dass man dem symmetrischen Tensor des Gravitationspotentials einen antisymmetrischen Tensor hinzufügte, der den Sechservektor des elektromagnetischen Feldes repräsentierte. Aber eine genauere Überlegung zeigt, dass man so zu keiner vernünftigen Weltfunktion kommt.”
57 Original Quote in German “Endlich habe ich mich gründlich von der Mieschen Theorie losgemacht und bin zu einer anderen Stellung zum Problem der Materie gelangt. Die Feldphysik erscheint mir keineswegs mehr als der Schlüssel zu der Wirklichkeit; sondern das Feld, der Äther, ist mir nur noch der in sich selbst völlig kraftlose Übermittler der Wirkungen, die Materie aber eine jenseits des Feldes liegende und dessen Zustände verursachende Realität.”
58 Original Quote in German “Die hier vertretene physikalische Interpretation der Geometrie (Kontinuumstheorie) versagt zwar bei ihrer unmittelbaren Anwendung auf Räume von submolekularer Grössenordnung. Einen Teil ihrer Bedeutung behält sie indessen auch noch den Fragen der Konstitution der Elementarteilchen gegenüber. Denn man kann versuchen, denjenigen Feldbegriffen [...] auch dann physikalische Bedeutung zuzuschreiben, wenn es sich um die Beschreibung der elektrischen Elementarteilchen handelt, die die Materie konstituieren. Nur der Erfolg kann über die Berechtigung eines solchen Verfahrens entscheiden [...].”
59 Original Quote in French “Dans le programme qu’a esquissé M. Einstein dans ses deux conférences faites en novembre 1929 à l’institut Henri Poncaré, il voulait chercher les lois physiques dans les solutions sans singularité de ses equations, la matière et l’electricité n’existant donc qu’à l’état continu. Placons-nous sur le terrain choisi par lui, sans trop nous étonner de le voir suivre en apparence une voie opposée à celle suivi avec succès par les physiciens contemporains.”
60 Original Quote in German “Machen wir keine weitere Voraussetzung, so bleiben die einzelnen Punkte der Mannigfaltigkeit in metrischer Hinsicht vollständig gegeneinander isoliert. Ein metrischer Zusammenhang von Punkt zu Punkt wird erst dann in sie hineingetragen, wenn ein Prinzip der Übertragung der Längeneinheit von einem Punkte P zu seinem unendlich benachbarten vorliegt.”
61 Original Quote in German Die Möglichkeit einer solchen ‘ferngeometrischen’ Vergleichung kann aber in einer reinen Infinitesimalgeometrie durchaus nicht zugestanden werden.”
62 Original Quote in German “Wieder ist die Physik, heute die Feldphysik, auf dem Wege, die Gesamtheit der Naturerscheinungen auf ein einziges Naturgesetz zurückzuführen, ein Ziel, dem sie schon einmal, als die durch Newtons Principia begründete mechanische Massenpunkt-Physik ihre Triumphe feierte, nahe zu sein. Doch ist auch heute dafür gesorgt, dass unsere Bäume nicht in den Himmel wachsen.”
63 Original Quote in German “Ich bin verwegen genug, zu glauben, dass die Gesamtheit der physikalischen Erscheinungen sich aus einem einzigen universellen Weltgesetz von höchster mathematischer Einfachheit herleiten lässt.”
64 In order to distinguish it from the “coordinate-weight” connected with relative tensors [27]. In his book, Weyl just uses the expression “weight”.
65 See Section IV, pp. 403–404 in [397Jump To The Next Citation Point]. Weyl’s expression violates Equation (38View Equation): His curvature tensor allows for a trace Vkl ⁄= 0. In fact Vkl = α Q[l;k] is proportional to the electromagnetic field tensor.
66 Original Quote in German “Diese Tage ist es mir, wie ich glaube, gelungen, Elektrizität und Gravitation aus einer gemeinsamen Quelle herzuleiten. Es ergibt sich ein völlig bestimmtes Wirkungsprinzip, das im elektrizitätsfreien Fall auf Ihre Gravitationsgleichungen führt, im gravitationsfreien dagegen Gleichungen ergibt, die in erster Näherung mit den Maxwellschen übereinstimmen. Im allgemeinsten Fall werden die Gleichungen allerdings 4. Ordnung.”
67 Original Quote in German “Ihre Abhandlung ist gekommen. Es ist ein Genie-Streich ersten Ranges. Allerdings war ich nicht imstande, meinen Massstab-Einwand zu erledigen.”
68 Original Quote in German “[...] scheint mir die Grundhypothese der Theorie leider nicht annehmbar, deren Tiefe und Kühnheit aber jeden Leser mit Bewunderung erfüllen muss.”
69 Original Quote in German “Die plausibelste Annahme, die man über ein im statischen Feld ruhende Uhr machen kann, ist die, dass sie das Integral des so normierten [d. h. so wie in der Einsteinschen Theorie] ds misst; es bleibt in meiner wie in der Einsteinschen Theorie die Aufgabe1, diese Tatsache aus einer explizit durchgeführten Dynamik abzuleiten.”
70 Original Quote in German “[Weyl] würde sagen, Uhren und Massstäbe müssten erst als Lösungen auftreten; im Fundament der Theorie kommen sie nicht vor. Aber ich finde: Wenn das mit einer Uhr (bzw. einem Massstab) gemessene ds ein von der Vorgeschichte, dem Bau und dem Material Unabhängiges ist, so muss diese Invariante als solche auch in der Theorie eine ganz fundamentale Rolle spielen. Wenn aber die Art des wirklichen Naturgeschehens nicht so wäre, so gäbe es keine Spektrallinien und keine wohldefinierten chemischen Elemente. [...] Jedenfalls bin ich mit Weyl überzeugt, dass Gravitation und Elektrizität zu einem Einheitlichen sich verbinden lassen müssen, nur glaube ich, dass die richtige Verbindung noch nicht gefunden ist.”
71 Original Quote in German “Abgesehen von der Übereinstimmung mit der Wirklichkeit ist es jedenfalls eine grandiose Leistung des Gedanken.”
72 Original Quote in German “Ihre Ablehnung der Theorie fällt für mich schwer ins Gewicht; [...] Aber mein eigenes Hirn bewahrt noch den Glauben an sie. Und daran muss ich als Mathematiker durchaus festhalten: Meine Geometrie ist die wahre Nahegeometrie, dass Riemann nur auf den Spezialfall Fik = 0 geriet, hat lediglich historische Gründe (Entstehung aus der Flächentheorie), keine sachlichen.”
73 Original Quote in German “[Weyl’s] theoretischer Versuch, passt nicht zu der Thatsache, dass zwei ursprünglich kongruente feste Körper auch kongruent bleiben, unabhängig davon, welche Schicksale sie durchmachen. Insbesondere hat es keine Bedeutung, welcher Wert des Integrals ∫ ϕνdxν ihrer Weltlinie zukommt. Sonst würde es Natrium-Atome und Elektronen in allen Grössen geben müssen. Wenn aber die relative Grösse starrer Körper von der Vorgeschichte unabhängig ist, dann gibt es einen messbaren Abstand zweier (benachbarter) Weltpunkte. Dann ist die Weylsche Grundannahme jedenfalls nicht richtig für das molekulare. Dafür, dass sie für das Gravitationsfeld zutreffe, spricht, soweit ich sehe, kein einziger physikalischer Grund. Dagegen aber spricht, dass die Feldgleichungen der Gravitation von vierter Ordnung werden, wofür die bisherige Erfahrung keinerlei Anhalts bietet [...].”
74 Original Quote in German “[...] durch Vorsetzen dieses Faktors wird dann doch sozusagen die absolute Normierung der Längeneinheit vollzogen.”
75 Original Quote in German “Der Ausdruck i k Rgikdxdx für die gemessene Länge ist aber, wenn man für R die Krümmungsinvariante nimmt, nach meiner Meinung keineswegs akzeptabel, weil R sehr abhängig ist von der materiellen Dichte. Eine ganz kleine Änderung des Messweges würde das Integral der Quadratzwurzel dieser Grösse sehr stark beeinflussen.”
76 Original Quote in German “Natürlich weiss ich, dass der Zustand der Theorie, wie ich ihn hingestellt habe, ein nicht befriedigender ist, abgesehen davon, dass die Materie unerklärt bleibt. Die zusammenhanglose Nebeneinandersetzung der Gravitationsglieder, der elektromagnetischen Glieder und der λ-Glieder ist unleugbar ein Produkt der Resignation. [...] Endlich muss es so herauskommen, dass man nicht Wirkungsdichten additiv aneinander kleben muss.”
77 Original Quote in German “Was Sie da sagen, ist wirklich wundervoll. So wie Mie seiner konsequenten Elektrodynamik eine Gravitation angeklebt hatte, die nicht organisch mit jener zusammenhing, ebenso hat Einstein seiner konsequenten Gravitation eine Elektrodynamik (d.h. die gewöhliche Elektrodynamik) angeklebt, die mit jener nicht viel zu tun hatte. Sie stellen eine wirkliche Einheit her.”
78 Original Quote in German “Man muss zu Tensoren übergehen die 4. Ordnung sind statt nur zweiter Ordnung, was eine weitgehende Unbestimmtheit der Theorie mit sich bringt, erstens weil es bedeutend mehr Gleichungen gibt, die in Betracht kommen, zweitens, weil die Lösungen mehr willkürliche Konstanten enthalten.”
79 In fact, from Equation (104View Equation) we obtain K = R+ 3Q Ql + 3Qj l ;j.
80 Original Quote in German “Ausserdem führt dies Theorie auf einheitliche Weise und zwingend zu dem kosmologischen Gliede, das bei Einstein nur eine ad hoc gemachte Annahme war [...].”
81 In the same year, Wirtinger sent in a paper on relativity theory published only in 1922 [421].
82 A detailed investigation of this subject will appear soon, and will be included in the next update of this article [145Jump To The Next Citation Point].
83 Some letters of Einstein to Kaluza are quoted by Pais ([241Jump To The Next Citation Point], p. 330), some are reprinted as facsimile in the Proceedings of the Erice Summer School of Cosmology and Gravitation 1982 [49Jump To The Next Citation Point], p. 452.
84 Original Quote in German “Ich habe grossen Respekt vor der Schönheit und Kühnheit Ihrer Gedanken. Aber Sie begreifen ja, dass ich bei den obwaltenden sachlichen Bedenken nicht in der ursprünglich geplanten Weise dafür Partei nehmen kann.”
85 Greek lettered indices run in M5, Latin ones in space time; x4 is the time coordinate, x5 the new spacelike coordinate.
86 Original Quote in German “Ich mache mir Gedanken darüber, dass ich Sie vor zwei Jahren von der Publikation Ihrer Idee über die Vereinigung von Gravitation und Elektrizität abgehalten habe. Ihr Weg scheint mir jedenfalls mehr für sich zu haben als der von H. Weyl beschrittene. Wenn Sie wollen, lege ich Ihre Arbeit doch der Akademie vor [...].”
87 We use some of Eddington’s notation. His notation representing the covariant derivative by a lower index is highly ambiguous, though, and will be avoided. ∗Gkl is not a dual.
88 Original Quote in German “[...] Darüber steht das marmorne Lächeln der unerbittlichen Natur, die uns mehr Sehnsucht als Geist verliehen hat.”
89 There even exist a manuscript dating from Einstein’s stop-over in Singapore; it is incomplete and of little importance [223].
90 Original Quote in German “Der Wunsch, das Gravitationsfeld und das elektromagnetische Feld als Wesenseinheit zu begreifen, beherrscht in den letzten Jahren das Streben der Theoretiker. [...] Von einem logisch einleuchtenden Standpunkt her sollte nur die Konnektion als fundamentale Grösse benutzt werden und die Metrik eine daraus abgeleitete Grösse sein. [...] Dies that Eddington.”
91 In place of our Kik Einstein used Rik.
92 Original Quote in German “Aber die ausserordentliche Kleinheit von -1 λ2 bringt es mit sich, dass endliche ϕkl nur bei winzigen, praktisch verschwindenden kovarianten Stromdichten möglich sind. Singuläre Stellen ausgenommen verschwindet praktisch also die Stromdichte.”
93 Original Quote in German “[...] dass nach dieser Theorie die positive und die negative Elektrizität keineswegs bloss dem Vorzeichen nach verschieden sein können.”
94 Original Quote in German “dass EDDINGTONS allgemeiner Gedanke in Verbindung mit dem Hamiltonschen Prinzip zu einer von Willkür fast freien Theorie führt, welche unserem bisherigen Wissen über Gravitation und Elektrizität gerecht wird und beide Feldarten in wahrhaft vollendeter Weise vereinigt.”
95 Original Quote in German “Die Theorie vermag also jedenfalls von der Verschiedenheit der Masse der positiven und negativen Elektronen keine Rechenschaft zu geben.”
96 He exchanged g ik by γ ik, R ik by r ik.
97 Original Quote in German R bedeutet hierbei den aus den gij gebildeten RIEMANNschen Krümmungsskalar”
98 This proportionality is about the simplest assumption one can make; the equation ∇lFkl ∼ Ak corresponds, in the case of the gravitational field, to the equation Rik = λgik leading to Einstein spaces.
99 Original Quote in German “[...] Ich glaube nun überhaupt nicht, dass dieses Problem der elektrischen Elementarteilchen von irgend einer Theorie gelöst werden kann, die den Begriff der kontinuierlich variierenden Feldstärken, die gewissen Differentialgleichungen genügen, auf die Gebiete im Innern der Elementarteilchen anwendet. [...] Die Grössen Γ μν α können nicht direkt gemessen werden, sondern müssen aus den direkt gemessenen Grössen erst durch komplizierte Rechenoperationen gewonnen werden. Niemand kann empirisch einen affinen Zusammenhang zwischen Vektoren in benachbarten Punkten feststellen, wenn er nicht vorher bereits das Linienelement ermittelt hat. Deswegen halte ich im Gegensatz zu Ihnen und Einstein die Erfindung der Mathematiker, dass man auch ohne Linienelement auf einen affinen Zusammenhang eine Geometrie gründen kann, zunächst für die Physik bedeutungslos.”
100 Original Quote in German “Für mich besteht das Endergebnis dieser Betrachtung leider in dem Eindruck, dass uns die Weyl–Eddingtonsche Vertiefung der geometrischen Grundlagen keinen Fortschritt der physikalischen Erkenntnis zu bringen vermag; hoffentlich wird die künftige Entwicklung zeigen, dass diese pessimistische Meinung unberechtigt gewesen ist.”
101 Original Quote in German “Ich bin fest überzeugt, dass die ganze Gedanken-Reihe Weyl–Eddington–Schouten zu nichts physikalisch brauchbarem führt und habe jetzt eine andere Spur gefunden, die mehr physikalisch fundiert ist. Das Quanten-Problem scheint mir etwas wie einen besonderen Skalar zu verlangen, für dessen Einführung ich einen plausiblen Weg gefunden habe.”
102 Original Quote in German “Ich glaube nicht, dass die Theorie das Kontinuum wird entbehren können. Es will mir aber nicht gelingen, meiner Lieblingsidee, die Quantenstruktur aus einer Überbestimmung durch Differentialgleichungen zu verstehen, greifbare Gestalt zu geben.”
103 Original Quote in German “Nach den bisherigen Theorien kann der Anfangszustand eines Systems frei gewählt werden; die Differentialgleichungen liefern dann die zeitliche Fortsetzung. Nach unserem Wissen über die Quantenzustände, wie es sich insbesondere im Anschluss an die BOHRsche Theorie im letzten Jahrzehnt entwickelt hat, entspricht dieser Zug der Theorie nicht der Wirklichkeit. Der Anfangszustand eines um einen Wasserstoffkern bewegten Elektrons kann nicht frei gewählt werden, sondern diese Wahl muss den Quantenbedingungen entsprechen. Allgemein: nicht nur die zeitliche Fortsetzung, sondern auch der Anfangszustand unterliegt Gesetzen.”
104 Original Quote in German “Das gesuchte Gleichungssystem, welches das Feld überbestimmt, muss jedenfalls jene statische, kugelsymmetrische Lösung zulassen, welche gemäss obigen Gleichungen [i.e., the Einstein–Maxwell equations] das positive bzw. negative Elektron beschreibt.”
105 Original Quote in German “Die Idee, mit der ich mich herumschlage, betrifft das Verstehen der Quantentheorie und heisst: Überbestimmung der Gesetze durch mehr Gleichungen als Feldvariable. So soll die Nichtwillkürlichkeit der Anfangsbedingungen begriffen werden, ohne die Feldtheorie zu verlassen.[...] Die Bewegungsgleichungen materieller Punkte (Elektronen) wird ganz aufgegeben; das motorische Verhalten der letzteren soll durch die Feldgesetze mitbestimmt werden.”
106 Original Quote in German “Einerseits scheint das nur noch formell etwas mit einer Feldtheorie gemeinsam zu haben; und andererseits schimmert mir noch nicht, wie auf diesem Wege etwas den diskreten Quantenbahnen entsprechendes zu erreichen ist.”
107 This is [160, 398] and [397].
108 Original Quote in German “Durch die Relativitätstheorie veranlasst, hat die Differentialgeometrie eine ganz neue, einfache und befriedigende Begründung erfahren; ich nenne nur G. Hessenberg ‘Vektorielle Begründung...’, Math. Ann. 78, 1917, S. 187–217 und H. Weyl, Raum–Zeit–Materie, 2. Kap., Leipzig 1918 (3. Aufl. Berlin 1920) sowie ‘Reine Infinitesimalgeometrie’ etc. [...] In der vorliegenden Untersuchung sind nun alle achtzehn verschiedenen Arten der linearen Übertragung vollständig aufgezählt und in invarianter Weise festgelegt. Die allgemeinste Übertragung wird durch zwei Felder dritten Grades, ein Tensorfeld zweiten Grades und ein Vektorfeld charakterisiert, [...].”
109 The 18 possibilities were numbered by Schouten as I, …, VI a–c; he mentioned 5 examples: Einstein (VI c), Hessenberg (VI a), Weyl (IV c) and (II c) (the latter also corresponds to Eddington’s choice) as well as König (II a) (cf. also [296Jump To The Next Citation Point]).
110 Original Quote in German “Die allgemeinen Übertragungen für n = 4 eröffnen für die Physik wenigstens theoretisch die Möglichkeit einer Erweiterung der Weylschen Theorie. Für eine solche Erweiterung ist eine invariante Festlegung der Übertragung notwendig, da eine physische Erscheinung nur mit einem invarianten Ausdruck korrespondieren kann.”
111 A summary of Schouten’s papers from 1922 is given in [300Jump To The Next Citation Point].
112 Original Quote in German “Da die Resultate der vorliegenden Arbeit aber für weitere Kreise von Mathematikern und auch für manche Physiker interessant sein dürften [...].”
113 Einstein had wished to avoid the distinction between + ∇ and − ∇.
114 The geometry of paths involves a change of connection that preserves the geodesics when vectors are displaced along themselves.
115 Original Quote in German “[...] Auch von meiner in diesen Sitzungsberichten (Nr. 17, p. 137 1923) erschienenen Abhandlung, welche ganz auf Eddingtons Grundgedanke basiert war, bin ich der Ansicht, dass sie die wahre Lösung des Problems nicht gibt. Nach unablässigem Suchen in den letzten zwei Jahren glaube ich nun die wahre Lösung gefunden zu haben.”
116 Original Quote in German “Man wird jedoch für spätere Untersuchungen (z. B. Problem des Elektrons) im Sinne behalten müssen, dass das HAMILTONsche Prinzip für das Verschwinden der ϕk keinen Anhaltspunkt liefert.”
117 Some extended discussion about the transformation of the field components with regard to time-reversal exist, in which two differing points of view are expressed (cf. [170], pp. 91–92, which corresponds to Einstein’s view, and [390]).
118 Einstein’s proof that charge-symmetric solutions with the same mass are unavoidable, although to him a rather negative feature of his unified field theories, later was interpreted as Einstein’s discovery of the concept of antimatter ([357, 371Jump To The Next Citation Point], p. 78, footnote 44). To me, this seems to be a case of whiggish historical hindsight. According to Bargmann, Einstein’s lasting result is that he pointed out the importance of the discrete symmetry operations [8].
119 i.e., the symmetry of the metrical tensor.
120 Original Quote in German “Lässt man die Voraussetzung der Symmetrie fallen, so erhält man in erster Näherung die Gesetze der Gravitation und die Maxwell’schen Feldgesetze für den leeren Raum, wobei der antisymmetrische Teil der ˆgik das elektromagnetische Feld ist. Dies ist doch eine prachtvolle Möglichkeit, die doch der Realität entsprechen dürfte. Nun ist die Frage, ob diese Feldtheorie mit der Existenz der Atome und Quanten vereinbar ist. Im Makroskopischen zweifle ich nicht an ihrer Richtigkeit.”
121 Original Quote in German “Wesentlich scheint mir die Erkenntnis zu sein, dass eine Erklärung der Ungleichartigkeit der beiden Elektrizitäten nur möglich ist, wenn man der Zeit eine Ablaufrichtung zuschreibt und diese bei der Definition der massgebenden physikalischen Grössen heranzieht. Hierin unterscheidet sich die Elektrodynamik von der Gravitation; deshalb erscheint mir auch das Bestreben, die Elektrodynamik mit dem Gravitationsgesetz zu einer Einheit zu verschmelzen, nicht mehr gerechtfertigt.”
122 Original Quote in German “Dass die Gleichungen (140View Equation) noch wenig Beachtung gefunden haben, liegt an zwei Umständen. Erstens nämlich waren unser aller Bestrebungen darauf gerichtet, auf dem von Weyl und Eddington eingeschlagenen oder einem ähnlichen Weg zu einer Theorie zu gelangen, die das Gravitationsfeld und das elektromagnetische Feld zu einer formalen Einheit verschmilzt; durch mannigfache Misserfolge habe ich mich aber nun zu der Überzeugung durchgerungen, dass man auf diesem Wege der Wahrheit nicht näher kommt.”
123 Original Quote in German “Meine Arbeit im Sinne Eddington’s habe ich leider verwerfen müssen. Ueberhaupt bin ich jetzt überzeugt, dass mit dem Weyl–Eddington’schen Gedanken-Komplex leider nichts zu machen ist. Ich halte die Gleichung
1 Rik − 4R gik = − κTik elektromagnetisch
[cf. Equation (140View Equation)] für das beste, was wir heute haben. Es sind 9 Gleichungen für die 14 Grössen gik und γik. Aus den neuen Rechnungen scheint sich zu ergeben, dass diese Gleichungen die Bewegung der Elektronen liefern. Aber es erscheint zweifelhaft, ob die Quanten darin Platz haben.”
124 It remains unclear how these γ[ik] are embedded into the theory, possibly in the sense of Rainich. Einstein’s paper practically excludes that they form the antisymmetric part of an asymmetric metric tensor.
125 Original Quote in French “dont les γ[ik] forment le rotationel”
126 Einstein had a wrong factor: 12 instead of 14.
127 Original Quote in German “Auch die ja von mir selbst aufgestellte Gleichung
Rik = gikflmf lm − 1flfkmglm 2
befriedigt mich wenig. Sie lässt keine singularitätenfreien elektrischen Massen zu. Ferner kann ich mich nicht dazu entschliessen, zwei Sachen zusammenzuleimen (wie die rechte und die linke Seite einer Gleichung), die logisch-mathematisch nichts miteinander zu schaffen haben.”
128 For the correspondence between Einstein and Infeld, cf. J. Stachel’s essay in [330Jump To The Next Citation Point], pp. 477–497.
129 Original Quote in German “Die obige Gleichung zeigt, dass sich die elektrische Ladung und der elektrische Strom überall verteilen, wo das elektromagnetische Feld existiert.”
130 I have not yet been able to read the contributions from other Japanese authors [197, 164, 182].
131 Original Quote in German “das Problem der Verallgemeinerung der Relativitätstheorie nicht auf rein formalem Wege gelöst werden kann. Man sieht zunächst nicht, wie die Wahl zwischen den verschiedenen nicht-Riemannschen Geometrien, die uns die Gravitation- und die Maxwellschen Gleichungen ergeben, zu treffen ist. Die eigentliche Weltgeometrie, die zu einer einheitlichen Theorie von Gravitation und Elektrizität führen soll, kann nur durch Untersuchung ihres physikalischen Inhalts gefunden werden.”
132 Original Quote in German “Herr Mandel macht mich darauf aufmerksam, dass die von mir hier mitgeteilten Ergebnisse nicht neu sind. Der ganze Inhalt findet sich in der Arbeit von O. Klein.”
133 The correspondence is taken from Pais [241Jump To The Next Citation Point] who, in his book, expresses his lack of understanding as to why Einstein published these two papers at all.
134 Original Quote in German “Die Bedeutung des überzähligen Koordinatenparameters scheint nämlich gerade darin zu liegen, dass er die Invarianz der Gleichungen [i.e., the relativistic wave equations] in bezug auf die Addition eines beliebigen Gradienten zum Viererpotential bewirkt.”
135 My italics.
136 Original Quote in German “Nun hat mir die allerdings reichlich mühsehlige Umrechnung der fünfdimensionalen Krümmungsgrössen auf eine in ihr enthaltene vierdimensionale Untermannigfaltigkeit auch im allgemeinen Falle (g55 ⁄= const., Abhängigkeit der Fundamentalkomponenten auch von x5 zugelassen) gezeigt, dass die wesentlichen Eigenschaften der Feldgleichungen auch dann erhalten bleiben, d.h. diese behalten die Gestalt:
√ - ik 1 ik ik ∂--gFik i R − 2g R = T , ∂xk = s ,
nur enthalten die ik T ausser den Komponenten ik S des elektromagnetischen Energietensors noch weitere Glieder, und die zu i s zusammengefassten Grössen verschwinden nicht. [...] Man könnte sogar das Auftreten der neuen Glieder auf den rechten Seiten von dem Standpunkt aus begrüssen, dass nunmehr die Feldgleichungen nicht nur für einen materie- und ladungsfreien Feldpunkt geliefert werden.”
137 Original Quote in German “Die hier dargestellte Theorie knüpft psychologisch an die bekannte Theorie von KALUZA an, vermeidet es aber, das physikalische Kontinuum zu einem solchen von fünf Dimensionen zu erweitern.”
138 Greek indices run from 1 to 5, Latin indices from 1 to 4.
139 In special coordinates, Aι=∗δι 5.
140 The curly bracket was introduced in Equation (29View Equation).
141 Original Quote in German “Die hier dargelegte Theorie liefert die Gleichungen des Gravitationsfeldes und des elektromagnetischen Feldes zwanglos auf einheitlichem Wege; dagegen liefert sie vorläufig kein Verständnis für den Bau der Korpuskeln sowie für die in der Quantentheorie zusammengefassten Tatsachen.”
142 Original Quote in German “Auch ich habe seit 1928 einen Ausgleich zu finden gesucht, diesen Weg aber wieder verlassen. Dagegen gelang eine verblüffend einfache Konstruktion auf Grund einer Idee, die zur Hälfte von mir, zur Hälfte von meinem Mitarbeiter Prof. Dr. Mayer stammt. [...] Nach meiner und Mayers Auffassung tritt die fünfte Dimension nicht in Erscheinung. [...] demzufolge man Beziehungen zwischen einem hypothetischen fünfdimensionalen Raum und dem vierdimensionalen aufstellen kann. Auf diese Weise gelang es, das Gravitations- und das elektromagnetische Feld als logische Einheit zu erfassen.”
143 Original Quote in German “Das Einzige, was in unserer Untersuchung herauskommt, ist die Vereinigung von Gravitation und Elektrizität, wobei die Gleichungen der letzteren genau die (relativistisch geschriebenen) Maxwell’schen des leeren Raumes sind. Es ist also kein physikalischer Fortschritt dabei, höchstens nur insoweit als man eben sieht, dass die Maxwell’schen Gleichungen nicht nur erste Näherungen sind, sondern ebensogut rationell begründet erscheinen wie die Gravitationsgleichungen des leeren raumes. Elektrische und Massendichte gibt es hierbei nicht; da hört die Herrlichkeit auf; dies gehört wohl schon zum Quantenproblem, das bis jetzt vom Feldstandpunkt unerreichbar ist (ebensowenig wie die Relativität vom Standpunkt der Quantenmechanik aus). Der Witz liegt in der Einführung von Fünfervektoren aσ im vierdimensionalen Raum, die an den Raum durch einen linearen Mechanismus gebunden sind. as sei der zu aσ gehörende Vierervektor, dann gibt es eine solche Beziehung aσ = γsaσ σ. Sinnvoll sind dann in der Theorie solche Gleichungen, welche unabhängig von der durch γs σ geschaffenen besonderen Beziehung gelten. Infinitesimale Verschiebung von (aσ) im vierdim. Raum wird definiert, ebenso die dazu gehörige Fünferkrümmung und diese liefert dann die Feldgleichungen.”
144 Original Quote in German “Diese Autoren wählen aber eine Formulierung, die infolge unnötiger Spezialisierung des Koordinatensystems die fünfte Koordinate in ganz ähnlicher Weise vor den übrigen auszeichnet wie dies bei Kaluza–Klein durch die Zylinderbedingung geschehen war [...].”
145 Original Quote in German “[...] dass unsere Theorie von ganz anderen physikalischen und geometrischen Gesichtspunkten als die KALUZAsche ausgeht. Insbesondere fordern wir kein Verhältnis zwischen elektrischer Ladung und einer fünften Koordinate; unsere Theorie ist vielmehr durchaus vierdimensional.”
146 Original Quote in German “Wir bemerken, dass Herr Cartan in einer allgemeinen und überaus aufklärenden Untersuchung jene Eigenschaft von Differentialgleichungssystemen tiefer analysiert hat, welche von uns in dieser Arbeit und in früheren Arbeiten als ‘Kompatibilität’ bezeichnet wurde.”
147 van Dantzig ventured even into physics; he wrote a paper on Miller’s repeat of Michelson’s experiment but published it in a mathematics journal [359].
148 A similar picture is already given in [315Jump To The Next Citation Point], p. 666, Figure 2
149 J. Solomon came from Copenhagen to Zürich on a Rockerfeller grant.
150 Original Quote in French “la forme que prennent les équations de Dirac dans la théorie unitaire d’Einstein et Mayer”
151 Original Quote in French “[...] même en l’absence de gravitation nous devons nous attendre à une différence entre l’equation de Dirac dans la théorie d’Einstein et Mayer et l’équation de Dirac telle qu’elle est écrite habituellement.”
152 Original Quote in French “On y examine d’un point de vue général la théorie des spinors dans l’espace à cinq dimensions. On discute ensuite la forme du tenseur énergie-quantité de mouvement et du vecteur de courant dans la théorie d’Einstein et Mayer.[...] Malheureusement il s’est montré que les considérations du §7 de la première partie sont entachées d‘une faute de calcul…Ceci a rendu nécessaire l‘introduction d’une nouvelle expression pour le tenseur énergie-quantité de mouvement et [...] également pour le vecteur de courant [...].”
153 a linear combination of torsion appearing in the connection besides the metric contribution (cf. Equation (43View Equation)).
154 Original Quote in French “Parue au moment oú vous faisiez vos conférences au Collège de France; je me rappelle même avoir, chez M. Hadamard, essayé de vous donner l’exemple le plus simple d’un espace de Riemann avec Fernparallelismus en prenant une sphère et en regardand commes paralléles deux vecteurs faisant le même angle avec les méridiennes qui passent par leurs deux origines: les géodésiques correspondantes sont les loxodromies.”
155 Original Quote in German “Deshalb ist das Bestreben der Theoretiker darauf gerichtet, natürliche Verallgemeinerungen oder Ergänzungen der RIEMANNschen Geometrie aufzufinden, welche begriffsreicher sind als diese, in der Hoffnung, zu einem logischen Gebäude zu gelangen, das alle physikalischen Feldbegriffe unter einem einzigen Gesichtspunkte vereinigt.”
156 Original Quote in French “[...] il indique dans sa bibliographie une note de Bortolotti dans laquelle il se réfère plusieurs fois à mes travaux.”
157 Mathematische Annalen was a journal edited by David Hilbert with co-editors O. Blumenthal and G. Hecke which physicists usually would not read. Einstein had been co-editor for the volumes 81 (1920) to 100 (1928); thus he had easy access. The editor of Zeitschrift für Physik was Karl Scheel, an experimental physicist.
158 In view of van Dantzig’s later papers showing that the vacuum Maxwell equations depend neither on the concept of metric nor of connection, Cartan’s reasons underlying his remark are not obvious [367, 363Jump To The Next Citation Point, 364, 365, 366].
159 Original Quote in French “Remarquons simplement qu’en principe les phénomènes mécaniques sont de nature purement affine, tandis que les phénomènes électromagnétiques sont de nature essentiellement métrique; il peut donc assez naturel de chercher à représenter le potentiel électromagnétique par un vecteur non purement affine.”
160 Original Quote in German “Insbesondere durch die Herren Weitzenböck und Cartan erfuhr ich, dass die Behandlung von Kontinua der hier in Betracht kommenden Gattung an sich nicht neu sei. [...] Was an der vorliegenden Abhandlung das Wichtigste und jedenfalls neu ist, das ist die Auffindung der einfachsten Feldgesetze, welche eine Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Fernparallelismus unterworfen werden kann.”
161 Original Quote in German “in ihrer Einheitlichkeit und der hochgradigen (erlaubten) Überbestimmung der Feldvariablen. Auch habe ich zeigen können, dass die Feldgleichungen in erster Näherung auf Gleichungen führen, welche der Newton–Poissonschen Theorie der Gravitation und der Maxwellschen Theorie des elektromagnetischen Feldes entsprechen. Trotzdem bin ich noch weit davon entfernt, die physikalische Gültigkeit der abgeleiteten Gleichungen behaupten zu können. Der Grund liegt darin, dass mir die Ableitung von Bewegungsgesetzen für die Korpuskeln noch nicht gelungen ist.”
162 Einstein’s policy was to permit only articles for the general reader to be printed in newspapers; he discouraged an English translation of his first teleparallelism paper of 1929 asked for by a publishing house (see [183Jump To The Next Citation Point], Documents Nr. 57 and 58, p. 141).
163 German edition: “Geheimnisse des Weltalls” (secrets of the universe).
164 Original Quote in German “Einstein wiederum bringt uns in seiner letzten Veröffentlichung, deren Kommentare noch ausstehen, mathematische Formeln, die gleichzeitig auf die Schwerkraft und die Elektrizität anwendbar sind, als wären diese beiden Kräfte, die das Weltall zu lenken scheinen, identisch und demselben Gesetz unterworfen. Wenn dem so wäre, würden die Folgen unberechenbar sein.”
165 The non-specialised reader will find this section rather technical.
166 “normed subdeterminants” means that the subdeterminants are divided by the determinant dethkˆı. Thus, the inverse matrix must be calculated.
167 Unlike in Einstein’s notation, which used Greek indices for the coordinate indices and Latin ones for the beins, here bein-indices are noted by a hat-symbol. Consequently, Latin indices are to be moved by the metric gik, while bein-indices are raised and lowered by δˆıkˆ or, for real coordinates, by the Minkowski metric.
168 h := dethlˆm corresponds to ∘ -------- − detgij. In his next note [88Jump To The Next Citation Point] Einstein also switched his notation of the 4-leg to Weitzenböck’s s hk, where the index to the left of h counts the number of legs.
169 Original Quote in German “die Trennung des Gravitationsfeldes und des elektromagnetischen Feldes erscheint aber nach dieser Theorie als künstlich. [...] Bemerkenswert ist ferner, dass nach dieser Theorie das elektrische Feld nicht quadratisch in die Feldgleichungen eingeht.”
170 There are some misprints in the formulae of § 1 of Einstein’s paper [88Jump To The Next Citation Point]. He writes the tensor density V with an upper coordinate and two lower bein-indices, i.e., as Vˆˆkˆlj. Einstein also introduced a new covariant derivative for which he used the symbol A ∕k. We call it ∇ ∗l; it is given through Equation (16View Equation), i.e., by ∇kXi = ∇ ∗l − Δ rˆXi kr.
171 The abbreviation A∥k is used only in place of + ∇k . If summation over indices is to be performed, it is irrelevant whether bein-indices or coordinate indices are written.
172 Original Quote in German “Die in dieser Arbeit vorgeschlagenen Feldgleichungen sind formal gegenüber sonst denkbaren so zu kennzeichnen. Es ist durch Anlehnung an die Identität (167View Equation) erreicht worden, dass die 16 Grössen hˆki nicht nur 16, sondern 20 selbständigen Differentialgleichungen unterworfen werden können. Unter ‘selbständig’ ist dabei verstanden, dass keine dieser Gleichungen aus den übrigen gefolgert werden kann, wenn auch zwischen ihnen 8 identische (Differentiations-) Relationen bestehen.”
173 Original Quote in German “Eine tiefere Untersuchung der Konsequenzen der Feldgleichungen (170View Equation) wird zu zeigen haben, ob die RIEMANN-Metrik in Verbindung mit dem Fernparallelismus wirklich eine adäquate Auffassung der physikalischen Qualitäten des Raumes liefert.”
174 The variational derivatives of ˆH,Hˆ∗, and ˆH∗∗ are named ˆGik, ˆG∗ik, and Gˆ∗∗ik, respectively, by Einstein.
175 Einstein’s contribution seems to have been submitted towards the end of 1928 (cf. [289Jump To The Next Citation Point], p. 21).
176 Original Quote in German “[...] welche mit den bekannten Gesetzen des Gravitationsfeldes und des elektromagnetischen Feldes in erster Näherung übereinstimmen [...]”
177 The quantity Gik defined here must be distinguished from the Einstein tensor in Section 2.2 denoted by the same symbol.
178 Original Quote in French “En effet, avec la nouvelle théorie de M. Einstein, il est naturel d‘appeler homogène un univers où les vecteurs de torsion associés à deux éléments de surface sont paralléles eux-mêmes; c’est à dire où le transport paralléle conserve la torsion.”
179 Original Quote in German “Sehr dankbar bin ich Ihnen aber für die Identität
Gik∥i − SlmkGlm = 0,
die mir merkwürdigerweise entgangen war. [...] In einer neuen Darstellung in den Sitzungsberichten habe ich von dieser Identität Gebrauch gemacht, indem ich mir erlaubte, auf Sie als Quelle aufmerksam zu machen.”
180 Original Quote in German “Neuerdings hat A. Einstein gestützt auf Untersuchungen von E. Cartan, seine Fernparallelismustheorie wesentlich modifiziert, so dass die früheren Nachteile (es handelt sich nur um die physikalischen Identifikationen) derselben von selbst hinfällig werden.”
181 Original Quote in French “Ce n’est pas la première fois qu’on envisage de tels espaces. Du point de vue purement mathématique ils ont déjà été étudié auparavant. M. CARTAN a eu l’amabilité de rédiger, pour les Mathematische Annalen, une note exposant les diverses phases du développement formel de ces conceptions.”
182 Original Quote in French “Ce type d‘espace à été envisagé, avant moi, par des mathématiciens, notamment par WEITZENBÖCK, EISENHART et CARTAN [...].”
183 Original Quote in French “Un grand pas en avant a été fait dans la poursuite de cette synthèse totale des phénomènes qui est, à tort ou à raison, l’idéal des physiciens. [...] le splendide effort fourni par Einstein nous permet d’espérer que les dernières difficultés théoriques seront vaincues et que nous pourrons bientôt comparer les conséquences de la théorie à l’expérience, cette pierre d’achoppement de toutes les créations de l’esprit.”
184 Original Quote in German “Es müssen also Gleichungen aufgestellt werden, zwischen denen identische Relationen bestehen. Je höher die Zahl der Gleichungen ist (und folglich auch der zwischen ihnen bestehenden Identitäten), desto bestimmtere, über die Forderung des blossen Determinismus hinausgehende Aussagen macht die Theorie; desto wertvoller ist also die Theorie, falls sie mit den Erfahrungstatsachen verträglich ist.”
185 Original Quote in German “Der Kompatibilitätsbeweis ist auf Grund einer brieflichen Mitteilung, welche ich Herrn CARTAN verdanke (vgl. §3, [16]), gegenüber der in den Mathematischen Annalen gegebene Darstellung etwas vereinfacht.”
186 Note that Einstein used the initial “S” in place of the correct “W” (Walther)
187 Original Quote in German “Meine Feldtheorie macht gute Fortschritte. Cartan hat schon darin gearbeitet. Ich selbst arbeite mit einem Mathematiker (S. Mayer aus Wien), einem prächtigen Kerl [...].”
188 Original Quote in German “Hiervon sind zwei (nichttriviale) Verallgemeinerungen der ursprünglichen Feldgleichungen der Gravitation, von denen eine als aus dem Hamiltonschen Prinzip hervorgehend bereits bekannt ist [...]. Die beiden übrigen sind in der Arbeit durch [...] bezeichnet.”
189 This view is supported by an (as yet unpublished) detailed investigation of Einstein’s theory of distant parallelism by T. Sauer which I received 6 month after after having submitted this review [289]. Sauer uses unpublished correspondence in the Einstein Papers Archive, and points to “some historical and systematic similarities between the Fernparallelismus episode and the Entwurf theory, i.e., the precurser theory of general relativity theory pursued by Einstein in the years 1912–1915.”
190 An evaluation of this correspondence has been given in [15].
191 In fact, this generalisation was to be worked out soon by V. Bargmann in 1930 [5Jump To The Next Citation Point] (cf. below).
192 Original Quote in German “[...] es ist das Ziel der neuen Theorie Einsteins, eine derartige Verkettung von Gravitation und Elektrizität zu finden, dass sie nur in erster Näherung in die getrennten Gleichungen der bisherigen Theorie zerspaltet, während sie in höherer Näherung einen gegenseitigen Einfluss der beiden Felder lehrt, der möglicherweise zum Verständnis bisher ungelöster Fragen, wie der Quantenrätsel, führt. Aber dieses Ziel scheint nur erreichbar zu sein unter Verzicht auf eine unmittelbare physikalische Interpretation der Verschiebungsoperation, ja sogar der eigentlichen Feldgrössen selbst. Vom geometrischen Standpunkt muss deshalb ein solcher Weg sehr unbefriedigend erscheinen; seine Rechtfertigung wird allein dadurch gegeben werden können, dass er durch die genannte Verkettung mehr physikalische Tatsachen umschliesst, als zu seiner Aufstellung in ihn hineingelegt wurden.”
193 Original Quote in German “[...] unterscheidet sich mein Ansatz in radikaler Weise dadurch, dass ich den Fernparallelismus ablehne und an Einsteins klassischer Relativitätstheorie der Gravitation festhalte. [...] An den Fernparallelismus vemag ich aus mehreren Gründen nicht zu glauben. Erstens sträubt sich mein mathematisches Gefühl a priori dagegen, eine so künstliche Geometrie zu akzeptieren; es fällt mir schwer, die Macht zu begreifen, welche die lokalen Achsenkreuze in den verschiedenen Weltpunkten in ihrer verdrehten Lage zu starrer Gebundenheit aneinander hat einfrieren lassen. Es kommen [...] zwei gewichtige physikalische Gründe hinzu. [...] nur durch diese Lockerung [des Zusammenhangs zwischen den lokalen Achsenkreuzen] wird die tatsächlich bestehende Eichinvarianz verständlich. Und zweitens ist die Möglichkeit, die Achsenkreuze an verschiedenen Stellen unabhängig voneinander zu drehen [...] gleichbedeutend mit der Symmetrie des Energieimpulstensors oder mit der Gültigkeit des Erhaltungssatzes für das Impulsmoment.”
194 Original Quote in German “Zuerst will ich diejenige Seite der Sache hervorheben, bei der ich voll und ganz mit Ihnen übereinstimme: Ihr Ansatz zur Einordnung der Gravitation in die Diracsche Theorie des Spinelektrons. [...] Ich bin nämlich dem Fernparallelismus ebenso feindlich gesinnt wie Sie, [...]. (Und hier muss ich Ihrer Tätigkeit in der Physik Gerechtigkeit widerfahren lassen. Als Sie früher die Theorie mit g′ik = λgik machten, war dies reine Mathematik und unphysikalisch, Einstein konnte mit Recht kritisieren und schimpfen. Nun ist die Stunde der Rache für Sie gekommen; jetzt hat Einstein den Bock des Fernparallelismus geschossen, der auch nur reine Mathematik ist und nichts mit Physik zu tun hat, und Sie können schimpfen!)”
195 Original Quote in German “Jetzt glaube ich übrigens vom Fernparallelismus keine Silbe mehr, den Einstein scheint der liebe Gott jetzt völlig verlassen zu haben.”
196 Original Quote in German “Ihre Skepsis bezüglich der Einsteinschen 4-Beingeometrie teile ich vollständig. In den Osterferien habe ich Einstein in Berlin besucht und fand seine Einstellung zur modernen Quantenphysik reaktionär.”
197 Original Quote in German “Ich danke Ihnen vielmals dafür, dass Sie die Korrekturen Ihrer neuen Arbeit aus den mathematischen Annalen [89Jump To The Next Citation Point] an mich senden liessen, die eine so bequeme und schöne Übersicht über die mathematischen Eigenschaften eines Kontinuums mit Riemann-Metrik und Fernparallelismus enthält. [...] Entgegen dem, was ich im Frühjahr zu Ihnen sagte, lässt sich vom Standpunkt der Quantentheorie nunmehr kein Argument zu Gunsten des Fernparallelismus mehr vorbringen. [...] Es bleibt [...] nur übrig, Ihnen zu gratulieren (oder soll ich lieber sagen: zu kondolieren?), dass Sie zu den reinen Mathematikern übergegangen sind. Ich bin auch nicht so naiv, dass ich glauben würde, Sie würden auf Grund irgendeiner Kritik durch Andere Ihre Meinung ändern. Aber ich würde jede Wette mit Ihnen eingehen, dass Sie spätestens nach einem Jahr den ganzen Fernparallelismus aufgegeben haben werden, so wie Sie früher die Affintheorie aufgegeben haben. Und ich will Sie nicht durch Fortsetzung dieses Briefes noch weiter zum Widerspruch reizen, um das Herannahen dieses natürlichen Endes der Fernparallelismustheorie nicht zu verzögern.”
198 Original Quote in German “Ihr Brief ist recht amüsant, aber Ihre Stellungnahme scheint mir doch etwas oberflächlich. So dürfte nur einer schreiben, der sicher ist, die Einheit der Naturkräfte vom richtigen Standpunkt aus zu überblicken. [...] Bevor die mathematischen Konsequenzen richtig durchgedacht sind, ist es keineswegs gerechtfertigt, darüber wegwerfend zu urteilen. [...] Dass das von mir aufgestellte Gleichungssystem zu der zugrundegelegten Raumstruktur in einer zwangsläufigen Beziehung steht, würden Sie bei tieferem Studium bestimmt einsehn, zumal der Kompatibilitätsbeweis der Gleichungen sich unterdessen noch hat vereinfachen lassen.”
199 Original Quote in German “Einstein soll im Berliner Kolloquium schrecklichen Quatsch über neuen Fernparallelismus verzapft haben! Die blosse Tatsache, dass seine Gleichungen nicht die geringste Ähnlichkeit mit der Maxwellschen Theorie haben, will er als Argument dafür hinstellen, dass sie etwas mit Quantentheorie zu tun haben. Mit einem solchen Kohl kann man nur amerikanischen Journalisten imponieren, nicht einmal amerikanischen Physikern, geschweige denn europäischen Physikern.”
200 This letter printed in Grüning’s book is not contained in the Einstein–Born correspondence edited by Born [103Jump To The Next Citation Point].
201 Original Quote in German “Dein Bericht über die Fortschritte der Fernparallelismus-Theorie hat mich sehr interessiert und besonders, dass die neuen Feldgleichungen von einzigartiger Einfachheit sind. Bisher hat mich nämlich immer an der Sache gestört, dass neben der so ungeheuer einfachen und durchsichtigen Geometrie die Feldtheorie so äusserst verwickelt aussah.”
202 Original Quote in German “Kritik zu üben an der Schöpfung eines Mannes, der längst der Ewigkeit verschrieben ist, kommt uns nicht zu und liegt uns auch fern. Nicht als Kritik, lediglich als Eindruck sei darauf hingewiesen, weshalb der neuen Feldtheorie nicht jene Überzeugungskraft inne zu wohnen scheint, nicht jene innere Geschlossenheit und suggestive Notwendigkeit, die die frühere Theorie ausgezeichnet hat. [...] Die Metrik ist eine hinreichende Basis zum Aufbau der Geometrie und man würde wahrscheinlich nicht auf den Gedanken kommen, die RIEMANNsche Geometrie durch den Fernparallelismus zu ergänzen, wenn man nicht den Wunsch hätte, etwas Neues in die RIEMANNsche Geometrie hineinzukonstruieren, um den Elektromagnetismus geometrisch zu interpretieren.”
203 Original Quote in German “Es ist schon eine kühne Tat der Redaktion, ein Referat über eine neue Feldtheorie EINSTEINs unter die Ergebnisse der exakten Naturwissenschaften aufzunehmen. Beschert uns doch seine nie versagende Erfindungsgabe sowie seine hartnäckige Energie beim Verfolgen eines bestimmten Zieles in letzter Zeit durchschnittlich etwa eine solche Theorie pro Jahr – wobei es psychologisch interessant ist, dass die jeweilige Theorie vom Autor gewöhnlich eine Zeitlang als ‘definitive’ Lösung betrachtet wird. So könnte man [...] ausrufen ‘Die neue Feldtheorie Einsteins ist tot. Es lebe die neue Feldtheorie Einsteins!’ ”
204 Original Quote in German “soll der Atomismus von Elektrizität und Materie ganz losgelöst von der Existenz des Wirkungsquantums, auf die Eigenschaften von (singularitätenfreien) Eigenlösungen noch aufzufindender nichtlinearer Differentialgleichungen der Feldgrössen zurückgeführt werden.”
205 The paper extended a previous one within the framework of special relativity [345].
206 Original Quote in German “Man kann etwa sagen, dass A. Einstein eine ebene Welt aufgebaut hat, welche nicht mehr öde ist wie die euklidische Raum-Zeit-Welt von H. Minkowski, sondern im Gegenteil alles in sich enthält, was wir als physikalische Wirklichkeit zu bezeichnen pflegen.”
207 Original Quote in German “Würde man das Bewegungsgesetz der Elementarteilchen aus den überbestimmten Feldgleichungen ableiten können, so kann man sich denken, dass dieses Bewegungsgesetz nur diskrete Bahnen, im Sinne der Quantentheorie, gestatten wird.”
208 Original Quote in German “Die neue Einsteinsche Gravitationstheorie steht mit der bekannten, von Ricci herrührenden Theorie der orthogonalen Kurvenkongruenzen in engem Zusammenhang. Um den Vergleich der beiden Theorien zu erleichtern, mögen hier die Bezeichnungen von Ricci und Levi-Civita, [...] mit denjenigen von Einstein zusammengestellt werden.”
209 Mandel’s Xi5 corresponds to a 5-bein vector hiˆ5.
210 There is no contradiction with the result of Einstein and Mayer [106]; this paper proceeds from different field equations.
211 Original Quote in German “Es ist mir eine angenehme Pflicht, Hrn. Dr. H. Müntz für die mühsame strenge Berechnung des zentralsymmetrischen Problems auf Grund des Hamiltonschen Prinzips zu danken; durch die Ergebnisse jener Untersuchung wurde mir die Auffindung des hier beschrittenen Weges nahegebracht.”
212 See Pauli’s note of 1919 concerning Weyl’s theory [243]. So far, I have not been able to find a publication by Dr. H. Müntz reporting about his calculations for Einstein. What should we conclude if none exists? That Einstein lost his interest in this particular version of unified field theory? That the calculations were erroneous, or just not reaching far enough? Further hypotheses are possible.
213 Original Quote in German “Die Forderung der Existenz eines ‘überbestimmten’ Gleichungssystems mit der erforderlichen Zahl der Identitäten gibt uns ein Mittel zur Auffindung der Feldgleichungen an die Hand.”
214 Cartan explained the generality index like this:
“[...] the general solution of a given deterministic system in involution depends on r2 + 2p− n arbitrary functions of three variables in the sense that the 3-dimensional solution (x4 = 0) that determines the most general solution can be obtained by arbitrarily taking r2 + 2p − n of the unknown functions to be functions of x1,x2,x3.”
Here, n is the number of equations of the system for p unknown functions; r2 denotes the number of existing linear relations among the 2p derivatives of the unknowns with regard to two arbitrary directions in 3-space.
215 Here, and in the sequel, I mostly take over the English translation by J. Leroy and J. Ritter used in the book.
216 Cartan’s note was published in a very similar form in [37].
217 Original Quote in French “[...] redigée en me placant au point de vue des systèmes d’équations aux dérivées partielles et non, comme dans mes mémoires, au point de vue des systémes d’équations aux différentielles totales [...]”
218 Original Quote in German “Ich habe Ihr Manuskript gelesen und zwar mit Begeisterung. Nun ist mir alles klar. [...] Ich hatte mit meinem Assistenten Prof. Müntz früher etwas ähnliches versucht – wir sind aber nicht durchgekommen.”
219 Original Quote in German “Es ist nun meine Überzeugung, dass bei ernst zu nehmenden Feldtheorien völlig Singularitätsfreiheit des ganzen Feldes verlangt werden muss. Dies wird wohl die freie Wahl der Lösungen in einem Gebiete in einer sehr weitgehenden Weise einschränken – über die Einschränkung hinaus, die Ihren Determinationsgrade entsprechen.”
220 Original Quote in German “Sie vernachlässigt die Existenz der wellenmechanischen Erscheinungen. Die Wellenmechanik ist durch die Arbeiten von Dirac in eine selbständige Phase getreten, und der einzige Versuch, diese neue Gruppe von Erscheinungen mit den übrigen beiden in Zusammenhang zu bringen, ist die Theorie von J. M. Whittaker [415Jump To The Next Citation Point].”
221 Original Quote in German “Diese Beziehung zwischen den wellenmechanischen Gleichungen eines ‘Elektrizitätsquantums’ und den elektromagnetischen Feldgleichungen, die man als wellenmechanische Gleichungen von Lichtquanten ansehen darf, muss wahrscheinlich eine grundlegende physikalische Bedeutung haben. Es erscheint mir daher nicht überflüssig [...], die Wellengleichung des Elektrons als Verallgemeinerung der Maxwellschen Gleichungen aufzustellen.”
222 Original Quote in German “Wir kommen also zu dem Schluss, dass unter genügend grossem Drucke selbst beim absoluten Nullpunkt gewöhnliche Materie und Hohlraumstrahlung (Lichtquantengas) in jeder Hinsicht identisch werden. Die Elektronen und Protonen sind nicht zu unterscheiden von Lichtquanten, der Gasdruck nicht vom Strahlungsdruck.”
223 Although the name “spinor” seems to have been suggested by Ehrenfest, Cartan first used the concept in 1913.
224 Scholz uses the expression “semi-vectors” which is reserved here for the objects of Einstein and Mayer with same name (cf. Section 7.3).
225 Ehrenfest had uttered much the same complaint to van der Waerden who had tried to answer to it by this paper, obviously without satisfying Ehrenfest but nevertheless laying the ground for other physicists’ understanding.
226 Original Quote in German “Noch immer fehlt ein dünnes Büchlein, aus dem man gemütlich die Spinorrechnung mit der Tensorrechnung vereinigt lernen könnte.”
227 While Veblen denoted the covariant derivative of ψA by ψA ,α, we are using the nabla-symbol.
228 Unfortunately, in his paper, in contrast to his previous and our notation, Veblen now used N for the index and k for weight.
229 Original Quote in German “Es ist naheliegend, zu erwarten, dass von den beiden Komponentenpaaren der Diracschen Grösse das eine dem Elektron, das andere dem Proton zugehört.”
230 Original Quote in German “Bei jedem Versuch zur Aufstellung der quantentheoretischen Feldgleichungen muss man im Auge haben, dass diese nicht direkt mit der Erfahrung verglichen werden können, sondern erst nach ihrer Quantisierung die Unterlage liefern für die statistischen Aussagen über das Verhalten der materiellen Teilchen und Lichtquanten.”
231 Original Quote in German “In den letzten zwei Jahrzehnten sind wiederholt Bestrebungen zum Ausdruck gekommen, die physikalischen Gesetze geometrischen Begriffen zuzuordnen. Im Gebiet der Gravitation und der klassischen Mechanik und haben diese Bestrebungen in Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie ihre höchste Vollendung gefunden. Bisher hat aber die Quantenmechanik im geometrischen Bilde keinen Platz gefunden; Versuche in dieser Richtung (Klein, Fock) hatten keinen Erfolg. Erst nachdem Dirac seine Gleichungen für das Elektron aufgestellt hat, scheint der Boden zur weiteren Arbeit in dieser Richtung geschaffen zu sein.”
232 Original Quote in French “C’est donc dans la loi du déplacement d’un demi-vecteur que doit figurer la forme différentielle lineaire de Weyl.”
233 Original Quote in German “Mit Hilfe des Begriffs der Parallelübertragung eines Halbvektors werden die Diracschen Gleichungen in allgemein invarianter Form geschrieben. [...] Das Auftreten des Viererpotentials ϕl neben den Riccikoefficienten γikl in der Formel für die Parallelübertragung gibt einerseits einen einfachen geometrischen Grund für das Auftreten des Ausdrucks e pl − cϕl in der Wellengleichung und zeigt andererseits, dass die Potentiale ϕl, abweichend von Einsteins Auffassung, einen selbständigen Platz im geometrischen Weltbild haben und nicht etwa Funktionen der γikl sein müssen.”
234 Fock referred to his paper of 1926 [130Jump To The Next Citation Point].
235 Original Quote in German “Das Auftreten der Weylschen Differentialform im Gesetz der Parallelverschiebung eines Halbvektors steht in enger Beziehung mit der vom Verfasser und auch von Weyl (l.c.) bemerkten Tatsache, dass die Addition eines Gradienten zum Viererpotential der Multiplikation der ψ-Funktion mit einem Faktor vom absoluten Betrag 1 entspricht.”
236 Original Quote in French “Le potentiel-vecteur trouve sa place dans la géométrie de Riemann, et on n’a pas besoin de la généraliser (Weyl, 1918) ou d’introduire le parallélisme à distance (Einstein 1928). Dans ce point notre théorie – développée indépendamment – s’accorde avec la nouvelle théorie de H. Weyl exposée dans son mémoire ‘Gravitation et Électron’.”
237 By ‘Dirac’s difficulty’ we must understand the existence of negative energy states of the electron and the non-vanishing probability that a change of electrical charge occurs.
238 Original Quote in French “L’objet principal de ce mémoire est la ‘difficulté de Dirac’. La théorie proposée par Weyl pour résoudre cette difficulté nous semble, cependant, ouverte à de graves objections; une critique de cette théorie est donnée dans notre article cité au debut [this is [135]].”
239 During a discussion with Frenkel, he also insisted that, in Kaluza’s approach, the meaning of the fifth coordinate is to be seen in the “preservation of invariance against adding a gradient to the [electromagnetic] vector potential” (p. 651).
240 Original Quote in German “Es sind kürzlich wiederholt Versuche gemacht worden (H. Mandel, G. Rumer, Verfasser u. a.), die Dimensionszahl der Welt zwecks Deutung ihrer sonderbaren Gesetzlichkeit zu erhöhen. Es gibt zwar gewichtige Gründe zu einer solchen augenscheinlich paradoxen Anschauung. Denn es ist gar nicht möglich, den Poincaréschen Druck des Elektrons in dem üblichen Raum-Zeitschema darzustellen. Aber die Einführung derartiger metaphysischer Elemente steht in grobem Widerspruch mit der raumzeitlichen Kausalität, obwohl wir andererseits nach der Heisenbergschen Unschärferelation eine Kausalität im üblichen Sinne bezweifeln dürfen. Ein mehrdimensionaler Determinismus ist jedoch unbegreiflich, solange wir nicht in der Lage sind, den überschüssigen Dimensionen einen anschaulichen Sinn beizulegen.”
241 Pseudo-tensors of class k are defined by help of an auxiliary variable 0 ξ transforming like 0′ 0 ξ = σξ; in their transformation law the multiplicative factor k σ occurs. σ is a function of the coordinates involved in the tensor transformation law.
242 Original Quote in German “Die Vereinigung der Diracschen Theorie des Elektrons mit der allgemeinen Relativitätstheorie ist schon wiederholt in Angriff genommen worden, [...]. Die meisten Autoren führen in jedem Weltpunkt ein orthogonales Achsenkreuz und in bezug auf dieses numerisch spezialisierte Diracsche Matrizen ein. Bei diesem Verfahren ist es ein bisschen schwer, zu erkennen, ob die Einsteinsche Idee des Fernparallelismus, auf die teilweise Bezug genommen wird, wirklich hereinspielt oder ob man davon unabhängig ist [...]. Ein grundsätzlicher Vorzug scheint es mir, dass sich der ganze Apparat fast vollständig durch reinen Operatorenkalkül aufbauen lässt, ohne auf die ψ-Funktion Bezug zu nehmen.”
243 Original Quote in German “Das zweite Glied scheint mir von erheblichem theoretischen Interesse. Es ist freilich um viele Zehnerpotenzen zu klein, um etwa das Glied rechter Hand ersetzen zu können. Denn μ ist die reziproke Compton-Wellenlänge, ungefähr 11 −1 10 cm. Immerhin scheint es bedeutungsvoll, dass in der verallgemeinerten Theorie überhaupt ein mit dem rätselhaften Massenglied gleichartiges angetroffen wird.”
244 For arbitrary dimension D ≥ 2 of the manifold MD, the coefficient in the conformally invariant equation is 4D(D−−21)-.
245 Original Quote in German “Ihre grundlegende Abhandlung hat mich veranlasst, die Rechnungseinzelheiten zu entwickeln, um von den Diracschen Gleichungen im allgemeinen Schwerefeld die modifizierte Form ihrer vier Gleichungen zweiter Ordnung zu gewinnen und so die entsprechenden Zusatzglieder festzustellen. Diese Zusatzglieder hängen in wesentlicher Weise von der Wahl des orthogonalen Vierbeines der Raumzeitmannigfaltigkeit ab: ein solches Bein scheint unentbehrlich zu sein, um die Diracschen Gleichungen zu bekommen.”
246 Original Quote in German “Der Leichenberg, hinter dem allerlei Gesindel Deckung sucht, hat einen Zuwachs erfahren. Es wird gewarnt vor der Arbeit von Levi-Civita: Diracsche und Schrödingersche Gleichungen, Berliner Berichte 1933. Alle sollten abgehalten werden, diese Arbeit zu lesen oder gar zu versuchen, sie zu verstehen. Ferner gehören sämtliche auf S. 241 dieser Arbeit zitierten Arbeiten dem Leichenberge an.”
247 Sedenions or quadri-quaternions form a system of 16 elements of an associative algebra; they are formed by the unit element 1, four elements Ei with EiEi = 1; EiEj = − EjEi and their products.
248 Original Quote in German “Schouten kommt am Ende nahezu zum gleichen Formalismus, der in dieser Arbeit entwickelt wird; nur benutzt er zur Einführung dieses Formalismus unnötigerweise n-Beinkomponenten und Sätze über Sedenionen, während der Formalismus nachher noch durch Hilfsvariable und Pseudogrössen belastet wird. Die Einführung von ‘Spinordichten’ haben wir von Schouten übernommen.”
249 Original Quote in German “Vorige Woche habe ich der Akademie eine kleine Arbeit eingereicht, in der ich zeigte, dass man der Schrödinger Wellenmechanik ganz bestimmte Bewegungen zuordnen kann, ohne jede statistische Deutung. Erscheint baldigst in den Sitz.-Ber.”
250 The symbol shλfor the tetrad field is due to Weitzenböck.
251 Original Quote in German “dass für die neue Einsteinsche Feldtheorie gewisse quantenmechanische Züge charakteristisch sind und dass man hoffen darf, dass die Theorie die Erfassung der Quantengesetze des Mikrokosmos ermöglichen wird.”
252 For the alpha-matrices, cf. Equation (88View Equation).
253 Original Quote in French “L’object de cette note est de formuler une relativité à cinq dimensions dont les équations fourniront les lois du champ gravifique, du champ électromagnétique, les lois du mouvement d’un point matériel chargé et l’équation des ondes de M. Schrödinger. Nous aurons ainsi un cadre dans lequel entreront les lois de la gravitation et de l’électromagnétisme, et où il sera possible de faire entrer aussi la théorie des quanta.”
254 Original Quote in French “On voit ainsi que la fiction d’un univers à cinq dimensions permet de donner une raison profonde à l’équation de Schrödinger. Il est clair que cet artifice deviendrait nécessaire si quelque phénomène obligeait les physiciens à croir à la variabilité de la charge.”
255 Gordon has not given a tensorial form of Dirac’s equation but his well-known decomposition of the Dirac current into a conduction and a polarisation part.
256 Original Quote in German “in manchen Fällen kann wohl eigentlich von einer quasi-makroskopischen Betrachtung des Einkörperproblems die Rede sein, man denke etwa an ein Bündel von monochromatischen Kathodenstrahlen.”
257 Original Quote in German “Das entspricht vollständig dem Verfahren der Diracschen Theorie, nur mit dem Unterschied, dass bei Dirac die Koordinate ξ nicht zwei, sondern vier Werte haben konnte, was von unserem Standpunkt aus unverständlich bleibt.”
258 Although Zaycoff does not say it, he takes ψ&tidle; as the complex-conjugate transposed function.
259 Original Quote in German “Die folgenden Ausführungen sollen [...] zeigen, dass die einheitliche Zusammenfassung des Gravitations- und des elektromagnetischen Feldes durch die projektive Differentialgeometrie mittels fünf homogener Koordinaten eine allgemeine Methode ist, deren Tragweite über die klassische Feldphysik hinaus- und in die Quantentheorie hineinreicht. Vielleicht ist es nicht unberechtigt, zu hoffen, dass die Methode als allgemeiner Rahmen der physikalischen Gesetze sich auch gegenüber einer künftigen physikalisch-begrifflichen Verbesserung der Grundlagen der Diracschen Theorie bewähren wird.”
260 Ψ⋆ is the complex conjugate and transposed object.
261 Original Quote in German “schwer verständlich und unübersichtlich”
262 Original Quote in German “Bei der grossen Bedeutung, welche der von Pauli und Dirac eingeführte Spinor-Begriff in der Molekularphysik erlangt hat, kann doch nicht behauptet werden, dass die bisherige mathematische Analyse dieses Begriffs allen berechtigten Ansprüchen genüge. [...] Unsere Bemühungen haben zu einer Ableitung geführt, welche nach unserer Meinung allen Ansprüchen an Klarheit und Natürlichkeit entspricht und undurchsichtige Kunstgriffe völlig vermeidet. Dabei hat sich [...] die Einführung neuartiger Grössen, der ‘Semi-Vektoren’, als notwendig erwiesen, welche die Spinoren in sich begreifen, aber einen wesentlich durchsichtigeren Transformationscharakter besitzen als die Spinoren.”
263 Original Quote in German “Ich arbeite mit meinem Dr. Mayer an der Theorie der Spinoren. Wir haben die mathematischen Zusammenhänge schon klären können. Von einer Erfassung des Physikalischen ist man noch weit entfernt, viel weiter, als man gegenwärtig denkt. Besonders bin ich nach wie vor davon überzeugt, dass der Versuch einer wesentlich statistischen Theorie scheitern wird.”
264 Two matrices B and C are called commuting if [B, C] := BC − CB = 0.
265 𝜖ijkl, the components of which are either ±1 or 0, is the totally antisymmetric (Levi-Civita) tensor density keeping its components fixed under any coordinate transformation (cf. Section 2.1.5).
266 All indices run from 1 to 4.
267 Original Quote in German “[...] Louis de Broglie erriet die Existenz eines Wellenfeldes, das zur Deutung von gewissen Quanteneigenschaften der Materie verwendbar war. Dirac fand in den Spinoren neuartige Feldgrössen, deren einfachste Gleichungen die Eigenschaften des Elektrons weitgehend abzuleiten gestatten. Ich fand nun mit meinem Mitarbeiter, Dr. Walther Mayer, dass diese Spinoren einen Spezialfall einer, mathematisch mit dem Vierdimensionalen verknüpften Feldart bilden, die wir als ‘Semivektoren’ bezeichneten. Die einfachsten Gleichungen, welchen solche Semivektoren unterworfen werden können, geben einen Schlüssel für das Verständnis der Existenz von zweierlei Elementarteilchen verschiedener ponderabler Masse und gleicher, aber entgegengesetzter Ladung. Diese Semivektoren sind nach den gewöhnlichen Vektoren die einfachsten mathematischen Feldgebilde, die in einem metrischen Kontinuum von vier Dimensionen möglich sind, und es scheint, dass sie zwanglos wesentliche Eigenschaften der elektrischen Elementarteilchen beschreiben.”
268 Original Quote in German “Der Raum der Semivektoren erster bzw. zweiter Art ist die Mannigfaltigkeit der Systeme von zwei einfachen Bivektoren der lokalen Raumzeitwelt, die in zwei Ebenen des ersten bzw. zweiten Ebenensystems auf dem Nullkegel liegen. [...] In der nicht projektiven Theorie sowie in der projektiven bei fehlendem elektromagnetichen Feld haben die Semivektoren einen Vorzug, [...]. Sobald in der projektiven Theorie ein elektromagnetisches Feld auftritt, ist die Rechnung mit Spinvektoren einfacher als die mit Semivektoren.”
269 Schouten referred to Pauli several times ([308Jump To The Next Citation Point], pp. 406, 414, 416–417).
270 In his letter to Einstein, Pauli had also mentioned his papers to be published in Annalen der Physik and discussed in Section 7.2.3.
271 This reference to Cartan is taken from van Dongen’s dissertation ([371Jump To The Next Citation Point], p. 86, footnote 70). After all, Cartan had discovered spinors in 1913 in the context of his classification of simple Lie algebras [370].
272 Dirac had made an antiparticle to the electron appear in his theory as early as in 1930 [55].
273 Original Quote in German “Dabei ergibt sich ohne weitere Hypothese die Existenz von zueinander entgegengesetzt geladenen Teilchen gleicher Ruhmasse, die unter Absorption bzw. Emission von elektromagnetischer Strahlung paarweise erzeugt bzw. vernichtet werden können. Die Häufigkeit solcher Prozesse erweist sich als von derselben Grössenordnung wie die für Teilchen derselben Ladung und Masse aus der Diracschen Löchertheorie folgende.”
274 Original Quote in German “Wir haben gesehen dass ein V3 entweder selbst ein F3 ist (dann ist er leer) oder ein Unterraum von F4 (dann ist in ihm ein Gravitationsfeld vorhanden), oder ein Unterraum von F5 (dann ist in ihm auch ein reines Elektrizitätsfeld vorhanden). Wo also noch ‘etwas’ ist, das weder Gravitationsfeld noch Elektrizitätsfeld ist, muss der V3 ein Unterraum in Fn (n ≥ 6) sein. Nun zeigt aber die Geometrie, dass jeder V3 ein Unterraum eines speziellen F6, nämlich des euklidischen oder pseudo-euklidischen Raumens ist. Das zeigt uns, dass der Übergang zum F6 auch der letzte Schritt ist.”
275 Original Quote in German “[...] Anregungen und das Interesse, das er dem Werden dieser Arbeit entgegenbrachte.”
276 Born tried to support Rumer in various ways, as can be seen from his correspondence with Einstein [103].
277 Original Quote in German “[...] tauchte hier ein junger Russe auf, der eine 6-dimensionale Relativitätsheorie mitbrachte. Da ich bereits vor den verschiedenen 5-dimensionalen Theorien Angstgefühle empfand und wenig Zuversicht, dass auf diesem Wege etwas Schönes herauskommen könnte, war ich sehr skeptisch.”
278 Original Quote in German “[...] aus den allgemeinen Eigenschaften der Riemannschen Geometrie, unter Zugrundelegung eines durch eine sehr natürliche Forderung ausgezeichneten Wirkungsprinzips, ohne jeden besonderen Kunstgriff die Grundeigenschaften des elektromagnetischen Feldes zwanglos abgeleitet werden können.”
279 Original Quote in German “Die Theorie der Differentialformen (Tensoren) hat mit Rücksicht auf ihre Verwendung in modernen physikalischen Theorien in den letzten Jahren eine ausführliche Bearbeitung erfahren. Wir erwähnen Ricci, Levi-Civita, Hessenberg, Einstein, Hilbert, [Felix] Klein, E. Noether, Weyl.”
280 Original Quote in German “Herrn L. Berwald in Prag, mit dem ich seit September 1921 in regem Gedankenaustausch stand und der mir seine Manuskripte schon vor der Drucklegung freundlichst zur Verfügung stellte, schulde ich Dank.”
281 Original Quote in German “Herr Pauli hatte die Freundlichkeit, zu erlauben, diesen Satz aus einem noch nicht publizierten Manuskript zu zitieren.”
282 Original Quote in German “Eine Korrespondenz mit Herrn Pauli veranlasste mich, diese Invarianz zu untersuchen.”
283 Original Quote in German “Hilbert, Klein [i.e., Felix Klein], Weyl und andere Mathematiker haben dabei mitgewirkt und die formale Struktur der Einsteinschen Formeln tief durchforscht und aufgehellt.”
284 Förster wrote his thesis in mathematics [137].
285 For the historical development of gauge theory from the point of view of physics, cf. Straumann [335, 240].
286 Original Quote in French “On voit [...] la variété des aspects sous lesquels peut etre envisagée la théorie unitaire du champ et aussi la difficulté des problèmes qu‘elle soulève. Mais M. Einstein n’est pas de ceux à qui les difficultés font peur et, meme si sa tentative n‘aboutit pas, elle nous aura forcés à réfléchir sur les grandes questions qui sont à la base de la science.”
287 Original Quote in French À l’heure actuelle cette nouvelle théorie n’est qu’un édifice mathématique, à peine relié par quelques liens très lâches à la réalité physique. Elle a été découverte par des considérations exclusivement formelles et ses conséquences mathématiques n’ont pas pu être suffisamment développées pour permettre la comparaison avec l’expérience. Néanmoins, cette tentative me semble très intéressante en elle-même; elle offre surtout de magnifique possibilités de développemnet et c’est dans l’espoir que les mathématiciens s’y intéressont, que je me permets de l’exposer et de l’analyser ici.”
288 Compare with the fate of contemporaneaous (quantum-) geometrodynamics [328].
289 Original Quote in German “Das Gelingen dieses Versuches, aus der Überzeugung der formalen Einheit der Struktur des Wirklichen heraus auf rein gedanklichem Wege subtile Naturgesetze abzuleiten, ermutigt zu einem Fortschreiten auf diesem spekulativen Wege, dessen Gefahren sich jeder lebhaft vor Augen halten muss, der ihn zu beschreiten wagt.”
290 Original Quote in German “Das sieht altertümlich aus und die lieben Kollegen sowie auch Du, mein Lieber, werden zunächst einmal die Zunge herausstrecken solange es geht. Denn in diesen Gleichungen kommt kein Planck’sches h vor. Aber wenn man an die Leistungsgrenzen des statistischen Fimmels deutlich gelangt sein wird, wird man wieder zur zeiträumlichen Auffassung reuevoll zurückkehren und dann werden diese Gleichungen einen Ausgangspunkt bilden.”
291 My reservations hold only if the toolbox does not also contain quantum field theory.
292 Original Quote in German “Nach dem heutigen Stand der Dinge wird man weder von klassischen noch von quantentheoretischen Methoden ‘alles’ erwarten, sondern sich eher jener mehrfach geäusserten Meinung anschliessen, dass das Feldproblem auf klassischem Boden weitergeführt werden muss, ehe es der Quantentheorie neuere Angriffspunkte zu bieten vermag. Eben deshalb ist es bedauerlich, dass nach jenen gross angelegten Entwürfen, wie sie in der Eichungstheorie und im Fernparallelismus vorliegen, weitere Versuche in klassischer Richtung nicht zu vermerken sind.”